Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk tingkat SMA dan contoh soal dari yang mudah hingga standar ujian masuk PTN beserta pembahasannya.
Berikut ini adalah materi tentang Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk tingkat SMA beserta contoh soal dari yang mudah hingga level paling sulit standar ujian masuk PTN, lengkap dengan pembahasannya.
Fungsi Komposisi
Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih sehingga menghasilkan fungsi baru.
Jika ( f(x) ) dan ( g(x) ) adalah dua fungsi, maka komposisi $$ ( f \circ g ) $$
berarti fungsi ( f ) dari hasil ( g(x) ), atau dapat ditulis ( f(g(x)) ).
Notasi:
$$ ( (f \circ g)(x) = f(g(x)) ) $$
Proses: Substitusikan hasil fungsi ( g(x) ) ke dalam fungsi ( f(x) ).
Fungsi Invers
Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers adalah kebalikan dari suatu fungsi. Jika ( f(x) ) adalah fungsi asli, maka fungsi inversnya adalah fungsi yang mengembalikan hasil fungsi tersebut ke nilai awalnya. Fungsi invers dari ( f(x) ) dilambangkan dengan ( f^{-1}(x) ).
$$ ( f^{-1}(x) ) $$
Notasi:
$$ ( f^{-1}(x) ) $$
Proses: Untuk mencari fungsi invers $$ ( f^{-1}(x) ) $$ lakukan langkah berikut:
Ganti ( f(x) ) dengan ( y ), sehingga ( f(x) = y ).
Tukar posisi ( x ) dan ( y ), sehingga
$$( x = f^{-1}(y) )$$
Selesaikan untuk mendapatkan ( y ) sebagai fungsi dari ( x ).
Trik Cepat Fungsi Invers
Selain cara di atas, ada beberapa cara cepat untuk bisa melakukan invers secara cepat. Berikut adalah detail cara invers dengan cara cepat:
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1 (Mudah): Fungsi Komposisi
Diberikan dua fungsi:
$$( f(x) = 2x + 1 ) $$ dan $$( g(x) = x – 3 ) $$
Tentukan komposisi $$( (f \circ g)(x) )$$
Pembahasan:
Komposisi ( f(g(x)) ) berarti ( f(g(x)) = f(x – 3) ).
Substitusikan ( g(x) = x – 3 ) ke dalam ( f(x) ):
$$f(x – 3) = 2(x – 3) + 1 = 2x – 6 + 1 = 2x – 5 $$
Jadi
$$( (f \circ g)(x) = 2x – 5 )$$
Soal 2 (Mudah): Fungsi Invers
Diberikan fungsi $$( f(x) = 3x – 4 )$$ Tentukan fungsi inversnya.
Pembahasan:
Misalkan ( f(x) = y ), jadi $$( y = 3x – 4 )$$
Tukar ( x ) dan ( y ), sehingga $$( x = 3y – 4 )$$
Selesaikan untuk ( y ):
$$ x + 4 = 3y \implies y = \frac{x + 4}{3}$$
Jadi, $$( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} )$$
Soal 3 (Sedang): Kombinasi Fungsi Komposisi dan Invers
Diberikan dua fungsi $$ ( f(x) = 2x + 1 ) $$ dan $$ ( g(x) = x^2 ) $$. Tentukan $$( (f \circ g)(x) )$$ dan $$( (g \circ f)(x) )$$.
Pembahasan:
Untuk $$( (f \circ g)(x) )$$, berarti $$( f(g(x)) = f(x^2) )$$
$$f(x^2) = 2x^2 + 1$$
Untuk $$( (g \circ f)(x) )$$, berarti $$( g(f(x)) = g(2x + 1) )$$
$$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$
Jadi, $$( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 )$$ dan $$( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x + 1 )$$
Soal 4 (Sedang): Fungsi Invers dengan Parameter
Diberikan fungsi $$( f(x) = \frac{3x – 2}{x + 1} )$$ Tentukan invers dari ( f(x) ).
Pembahasan:
Misalkan ( f(x) = y ), sehingga $$( y = \frac{3x – 2}{x + 1} )$$
Tukar ( x ) dan ( y ), jadi $$( x = \frac{3y – 2}{y + 1} )$$
Kalikan silang:
$$x(y + 1) = 3y – 2 \implies xy + x = 3y – 2$$
Pindahkan semua ( y ) ke satu sisi:
$$xy – 3y = -x – 2 \implies y(x – 3) = -x – 2$$
Selesaikan untuk ( y ):
$$y = \frac{-x – 2}{x – 3}$$
Jadi, $$( f^{-1}(x) = \frac{-x – 2}{x – 3} )$$
Soal 5 (Sulit): Kombinasi Fungsi Komposisi dan Invers
Soal 6 (Sulit): Soal Kombinasi Komposisi dan Invers
Diberikan fungsi $$( f(x) = \frac{x – 2}{x + 3} )$$ dan $$( g(x) = 3x^2 – 1 )$$ Tentukan $$( f^{-1}(g(x)) )$$
Pembahasan:
Cari invers ( f(x) ) terlebih dahulu:
Misalkan ( f(x) = y ), jadi $$( y = \frac{x – 2}{x + 3} )$$
Tukar ( x ) dan ( y ):
$$x = \frac{y – 2}{y + 3}$$
Selesaikan untuk ( y ):
$$x(y + 3) = y – 2 \implies xy + 3x = y – 2 \implies xy – y = -3x – 2 \implies y(x – 1) = -3x – 2 \implies y = \frac{-3x – 2}{x – 1}$$
Jadi, $$( f^{-1}(x) = \frac{-3x – 2}{x – 1} )$$
Substitusikan $$( g(x) ) ke ( f^{-1}(x) )$$
$$f^{-1}(g(x)) = f^{-1}(3x^2 – 1) = \frac{-3(3x^2 – 1) – 2}{(3x^2 – 1) – 1} = \frac{-9x^2 + 3 – 2}{3x^2 – 2} = \frac{-9x^2 + 1}{3x^2 – 2}$$
Jadi, $$( f^{-1}(g(x)) = \frac{-9x^2 + 1}{3x^2 – 2} )$$
Kesimpulan:
Fungsi komposisi dan fungsi invers merupakan topik yang sering muncul dalam ujian masuk PTN, terutama dalam tipe soal yang menguji kemampuan dalam memanipulasi aljabar dan menerapkan konsep-konsep fungsi dasar. Pemahaman yang mendalam mengenai cara mencari fungsi komposisi dan
invers sangat penting agar dapat menyelesaikan soal-soal dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi.
Dalam dunia sepak bola, strategi adalah kunci penentu kemenangan. Kita mengenal istilah “Parkir Bus” (defensive solid)—taktik yang dipopulerkan oleh pelatih legendaris seperti José Mourinho, di
Dalam sejarah Piala Dunia, momen yang paling membekas di ingatan penonton jarang sekali lahir dari dominasi tim-tim raksasa yang sudah diprediksi akan menang mudah. Sebaliknya,
Ketika sebuah tim nasional berhasil melangkah ke babak Final Piala Dunia, mereka tidak akan membiarkan sang striker utama berlari ke depan tanpa arah, mengandalkan keberuntungan
Atmosfera ketegangan di dalam dewan ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) mempunyai persamaan yang luar biasa dengan gemuruh stadium saat babak kalah mati Piala Dunia
Bimbel Lavender merupakan bagian dari PT Lavender Bina Cendikia Tbk adalah perusahaan bidang Pendidikan bimbingan belajar dan konseling swasta di Indonesia.
