1. Pendahuluan Trigonometri
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Pada kelas 10, fokus utamanya adalah memahami fungsi trigonometri sudut-sudut dalam segitiga, seperti sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan). Trigonometri digunakan dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, astronomi, dan arsitektur.
2. Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri yang paling umum digunakan melibatkan sudut dalam segitiga siku-siku. Terdapat tiga fungsi dasar yang menghubungkan sudut dengan panjang sisi segitiga:
Selain itu, ada fungsi sekunder seperti secan (sec), kosekan (csc), dan kotangen (cot) yang merupakan kebalikan dari fungsi dasar.
Sinus (sin) dari suatu sudut adalah perbandingan panjang sisi di depan sudut tersebut terhadap panjang sisi miring.
$$\sin(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}}$$
Cosinus (cos) dari suatu sudut adalah perbandingan panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut tersebut terhadap panjang sisi miring.
$$\cos(\theta) = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}}$$
Tangen (tan) dari suatu sudut adalah perbandingan panjang sisi di depan sudut tersebut terhadap panjang sisi yang bersebelahan.
$$\tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$$
3. Aturan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
- Aturan Pythagoras: Dalam segitiga siku-siku, berlaku rumus:
Di mana (a) dan (b) adalah panjang sisi siku-siku, dan (c) adalah panjang sisi miring (hipotenusa).
$$a^2 + b^2 = c^2$$
- Sudut-sudut Istimewa: Sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° sering digunakan karena memiliki nilai trigonometri yang spesifik.
| Sudut | Sinus | Cosinus | Tangen |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | tidak terdefinisi |
4. Contoh Soal Trigonometri dan Pembahasan
Berikut adalah 10 contoh soal trigonometri dari yang paling mudah hingga paling sulit, dengan pembahasan detail.
Soal 1 Trigonometri (Mudah)
Soal: Hitung nilai $$(\sin 30^\circ)$$
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $$(\sin 30^\circ = \frac{1}{2})$$
Jadi, jawabannya adalah $$ (\frac{1}{2}) $$
Soal 2 (Mudah)
Soal: Hitung nilai $$(\cos 60^\circ)$$
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $$(\cos 60^\circ = \frac{1}{2})$$
Jadi, jawabannya adalah $$(\frac{1}{2})$$
Soal 3 (Mudah)
Soal: Tentukan nilai $$(\tan 45^\circ)$$
Pembahasan:
$$(\tan 45^\circ = 1)$$, sehingga jawabannya adalah $$(1)$$
Soal 4 (Sedang)
Soal: Dalam segitiga siku-siku, panjang sisi-sisi segitiga adalah 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Tentukan nilai $$(\sin) dari sudut di depan sisi 3 cm$$.
Pembahasan:
$$\sin(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5}$$
Jadi, $$(\sin(\theta) = 0,6)$$
Soal 5 (Sedang)
Soal: Tentukan nilai $$(\cos 45^\circ + \sin 30^\circ)$$
Pembahasan:
$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$
$$\cos 45^\circ + \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$$
Soal 6 (Sedang)
Soal: Jika $$(\tan \theta = 2)$$, tentukan nilai $$(\sin \theta)$$ dan $$(\cos \theta)$$$ jika diketahui bahwa sudut tersebut berada di kuadran I.
Pembahasan:
Dari definisi $$(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2)$$ Maka kita punya hubungan:
$$\sin \theta = 2 \cdot \cos \theta$$
Gunakan identitas $$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1):$$
$$(2 \cdot \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$$
$$4\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
$$5\cos^2 \theta = 1 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\sin \theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
Jadi, $$(\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}) dan (\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}})$$
Soal 7 (Sulit)
Soal: Jika diketahui $$(\cos \theta = \frac{3}{5})$$ dan $$(\theta)$$ terletak di kuadran IV, hitung nilai $$(\tan \theta)$$
Pembahasan:
Di kuadran IV, nilai sinus negatif. Dengan menggunakan identitas $$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1)$$
$$\sin^2 \theta + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$$
$$\sin^2 \theta + \frac{9}{25} = 1 \Rightarrow \sin^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
$$\sin \theta = -\frac{4}{5}$$
$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3}$$
Jadi, $$(\tan \theta = -\frac{4}{3})$$
Soal 8 (Sulit)
Soal: Tentukan nilai $$(\sin (60^\circ + 30^\circ))$$
Pembahasan:
Gunakan rumus penjumlahan sinus:
$$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$
Untuk $$(a = 60^\circ)$$ dan $$(b = 30^\circ), kita punya:
$$\sin (60^\circ + 30^\circ) = \sin 60^\circ \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \sin 30^\circ$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$$
Jadi, $$(\sin (60^\circ + 30^\circ) = 1)$$
Soal 9 (Sulit)
Soal: Jika $$(\sin x = 0,6)$$, dan (x) berada di kuadran II, hitung nilai $$(\cos x)$$ dan $$(\tan x)$$.
Pembahasan:
$$(\sin x = 0,6 = \frac{3}{5})$$, sehingga kita dapat menggunakan identitas Pythagoras:
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 – \sin^2 x = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$$
$$\cos x = -\frac{4}{5} \quad (\text{karena berada di kuadran II, cosinus negatif})$$
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$
Jadi, $$(\cos x = -\frac{4}{5}) dan (\tan x = -\frac{3}{4})$$
Soal 10 (Sangat Sulit – Standar Ujian Masuk PTN)
Soal: Tentukan nilai $$(\sin(2\theta))$$ jika $$(\sin \theta = \frac{5}{13})$$ dan $$(\theta)$$ berada di kuadran I.
Pembahasan:
Gunakan identitas $$(\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta)$$ Dari $$(\sin \theta = \frac{5}{13})$$, kita dapat menghitung $$(\cos \theta)$$ menggunakan identitas Pythagoras:
$$\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta = 1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$
$$\cos \theta = \frac{12}{13}$$
Maka, $$(\sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169})$$
Kesimpulan Trigonometri
Materi tentang trigonometri terutama fungsi sudut sangat penting untuk memahami hubungan antar sudut dan sisi dalam segitiga. Latihan soal bervariasi tingkat kesulitan membantu memperdalam pemahaman dan mempersiapkan siswa untuk menghadapi ujian, termasuk ujian masuk perguruan tinggi.
