Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk tingkat SMA dan contoh soal dari yang mudah hingga standar ujian masuk PTN beserta pembahasannya.
Berikut ini adalah materi tentang Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk tingkat SMA beserta contoh soal dari yang mudah hingga level paling sulit standar ujian masuk PTN, lengkap dengan pembahasannya.
Fungsi Komposisi
Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih sehingga menghasilkan fungsi baru.
Jika ( f(x) ) dan ( g(x) ) adalah dua fungsi, maka komposisi $$ ( f \circ g ) $$
berarti fungsi ( f ) dari hasil ( g(x) ), atau dapat ditulis ( f(g(x)) ).
Notasi:
$$ ( (f \circ g)(x) = f(g(x)) ) $$
Proses: Substitusikan hasil fungsi ( g(x) ) ke dalam fungsi ( f(x) ).
Fungsi Invers
Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers adalah kebalikan dari suatu fungsi. Jika ( f(x) ) adalah fungsi asli, maka fungsi inversnya adalah fungsi yang mengembalikan hasil fungsi tersebut ke nilai awalnya. Fungsi invers dari ( f(x) ) dilambangkan dengan ( f^{-1}(x) ).
$$ ( f^{-1}(x) ) $$
Notasi:
$$ ( f^{-1}(x) ) $$
Proses: Untuk mencari fungsi invers $$ ( f^{-1}(x) ) $$ lakukan langkah berikut:
Ganti ( f(x) ) dengan ( y ), sehingga ( f(x) = y ).
Tukar posisi ( x ) dan ( y ), sehingga
$$( x = f^{-1}(y) )$$
Selesaikan untuk mendapatkan ( y ) sebagai fungsi dari ( x ).
Trik Cepat Fungsi Invers
Selain cara di atas, ada beberapa cara cepat untuk bisa melakukan invers secara cepat. Berikut adalah detail cara invers dengan cara cepat:
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1 (Mudah): Fungsi Komposisi
Diberikan dua fungsi:
$$( f(x) = 2x + 1 ) $$ dan $$( g(x) = x – 3 ) $$
Tentukan komposisi $$( (f \circ g)(x) )$$
Pembahasan:
Komposisi ( f(g(x)) ) berarti ( f(g(x)) = f(x – 3) ).
Substitusikan ( g(x) = x – 3 ) ke dalam ( f(x) ):
$$f(x – 3) = 2(x – 3) + 1 = 2x – 6 + 1 = 2x – 5 $$
Jadi
$$( (f \circ g)(x) = 2x – 5 )$$
Soal 2 (Mudah): Fungsi Invers
Diberikan fungsi $$( f(x) = 3x – 4 )$$ Tentukan fungsi inversnya.
Pembahasan:
Misalkan ( f(x) = y ), jadi $$( y = 3x – 4 )$$
Tukar ( x ) dan ( y ), sehingga $$( x = 3y – 4 )$$
Selesaikan untuk ( y ):
$$ x + 4 = 3y \implies y = \frac{x + 4}{3}$$
Jadi, $$( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} )$$
Soal 3 (Sedang): Kombinasi Fungsi Komposisi dan Invers
Diberikan dua fungsi $$ ( f(x) = 2x + 1 ) $$ dan $$ ( g(x) = x^2 ) $$. Tentukan $$( (f \circ g)(x) )$$ dan $$( (g \circ f)(x) )$$.
Pembahasan:
Untuk $$( (f \circ g)(x) )$$, berarti $$( f(g(x)) = f(x^2) )$$
$$f(x^2) = 2x^2 + 1$$
Untuk $$( (g \circ f)(x) )$$, berarti $$( g(f(x)) = g(2x + 1) )$$
$$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$
Jadi, $$( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 )$$ dan $$( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x + 1 )$$
Soal 4 (Sedang): Fungsi Invers dengan Parameter
Diberikan fungsi $$( f(x) = \frac{3x – 2}{x + 1} )$$ Tentukan invers dari ( f(x) ).
Pembahasan:
Misalkan ( f(x) = y ), sehingga $$( y = \frac{3x – 2}{x + 1} )$$
Tukar ( x ) dan ( y ), jadi $$( x = \frac{3y – 2}{y + 1} )$$
Kalikan silang:
$$x(y + 1) = 3y – 2 \implies xy + x = 3y – 2$$
Pindahkan semua ( y ) ke satu sisi:
$$xy – 3y = -x – 2 \implies y(x – 3) = -x – 2$$
Selesaikan untuk ( y ):
$$y = \frac{-x – 2}{x – 3}$$
Jadi, $$( f^{-1}(x) = \frac{-x – 2}{x – 3} )$$
Soal 5 (Sulit): Kombinasi Fungsi Komposisi dan Invers
Soal 6 (Sulit): Soal Kombinasi Komposisi dan Invers
Diberikan fungsi $$( f(x) = \frac{x – 2}{x + 3} )$$ dan $$( g(x) = 3x^2 – 1 )$$ Tentukan $$( f^{-1}(g(x)) )$$
Pembahasan:
Cari invers ( f(x) ) terlebih dahulu:
Misalkan ( f(x) = y ), jadi $$( y = \frac{x – 2}{x + 3} )$$
Tukar ( x ) dan ( y ):
$$x = \frac{y – 2}{y + 3}$$
Selesaikan untuk ( y ):
$$x(y + 3) = y – 2 \implies xy + 3x = y – 2 \implies xy – y = -3x – 2 \implies y(x – 1) = -3x – 2 \implies y = \frac{-3x – 2}{x – 1}$$
Jadi, $$( f^{-1}(x) = \frac{-3x – 2}{x – 1} )$$
Substitusikan $$( g(x) ) ke ( f^{-1}(x) )$$
$$f^{-1}(g(x)) = f^{-1}(3x^2 – 1) = \frac{-3(3x^2 – 1) – 2}{(3x^2 – 1) – 1} = \frac{-9x^2 + 3 – 2}{3x^2 – 2} = \frac{-9x^2 + 1}{3x^2 – 2}$$
Jadi, $$( f^{-1}(g(x)) = \frac{-9x^2 + 1}{3x^2 – 2} )$$
Kesimpulan:
Fungsi komposisi dan fungsi invers merupakan topik yang sering muncul dalam ujian masuk PTN, terutama dalam tipe soal yang menguji kemampuan dalam memanipulasi aljabar dan menerapkan konsep-konsep fungsi dasar. Pemahaman yang mendalam mengenai cara mencari fungsi komposisi dan
invers sangat penting agar dapat menyelesaikan soal-soal dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi.
Bimbel Lavender merupakan bagian dari PT Lavender Bina Cendikia Tbk adalah perusahaan bidang Pendidikan bimbingan belajar dan konseling swasta di Indonesia.
